Hay una regla de los mapas de Karnaugh que muchísimas guías explican mal, y por la que se suspenden ejercicios: los grupos sí pueden solaparse. Un mismo 1 puede pertenecer a dos, tres o cuatro grupos distintos, y aprovechar ese solapamiento es justo lo que permite llegar a la expresión mínima.
Si has leído en algún sitio que los grupos "no deben superponerse", ese sitio está equivocado.
Aclarado eso, vamos a lo demás: qué es un mapa de Karnaugh, por qué las columnas van en ese orden tan raro, cómo se agrupa bien y un ejercicio de cuatro variables resuelto de principio a fin.
Qué es un mapa de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una función lógica que coloca todas las combinaciones posibles de sus variables en una cuadrícula, ordenadas de forma que dos celdas contiguas se diferencien en una sola variable, lo que permite simplificar la función agrupando visualmente en lugar de aplicando teoremas del álgebra de Boole.
Lo desarrolló Maurice Karnaugh, físico e ingeniero de los Laboratorios Bell, y lo publicó en 1953 con el título The Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits. Era un refinamiento del diagrama que Edward Veitch había propuesto en 1952, y su aportación decisiva fue el orden de las celdas, del que hablamos en la siguiente sección.
Para qué sirve en la práctica: para reducir el número de puertas lógicas de un circuito. Menos puertas significa menos componentes, menos consumo, menos coste y menos retardo de propagación. Es la razón por la que sigue siendo contenido obligatorio en cualquier asignatura de sistemas digitales.
El tamaño del mapa depende del número de variables: 2 variables dan 4 celdas, 3 variables dan 8, 4 variables dan 16. Cada celda representa una combinación de entradas y contiene el valor que la función toma para esa combinación.
Es, en el fondo, una notación gráfica para razonar sobre un sistema, en la misma familia que otros lenguajes de modelado como UML, solo que aplicada a lógica binaria en lugar de a arquitectura de software.
Por qué el orden es 00, 01, 11, 10 y no 00, 01, 10, 11
Esta es la pregunta que casi nadie responde, y sin ella el método parece magia.
Las celdas no se ordenan en binario natural, sino en código Gray: una secuencia en la que entre dos valores consecutivos solo cambia un bit.
Binario natural | Código Gray |
|---|---|
00, 01, 10, 11 | 00, 01, 11, 10 |
Fíjate en el paso de 01 a 10 en binario natural: cambian los dos bits a la vez. En código Gray, de 01 pasas a 11, y solo cambia el bit de la izquierda.
Y ahí está todo el truco. Si dos celdas contiguas solo se diferencian en una variable, al agruparlas esa variable se cancela: da igual que valga 0 o 1, la función vale 1 en ambos casos. Cada vez que duplicas el tamaño de un grupo, eliminas una variable más del término.
Por eso un grupo de 2 celdas elimina una variable, uno de 4 elimina dos, y uno de 8 elimina tres. La simplificación no es una regla arbitraria: es una consecuencia directa del orden de las celdas.
Y de ahí sale también la adyacencia circular, que es lo segundo que más confunde. El mapa se comporta como si estuviera enrollado: la columna de la izquierda es adyacente a la de la derecha, y la fila de arriba a la de abajo. En un mapa de 4 variables, las cuatro esquinas son adyacentes entre sí y forman un grupo válido de cuatro. Visualmente parece imposible; en código Gray es evidente.
Las reglas de agrupación
Estas son las reglas completas. La cuarta es la que se explica mal en medio internet.
Los grupos solo contienen unos. Ni ceros ni celdas vacías.
Los grupos son rectangulares, con los dos lados de longitud potencia de 2. Nunca en diagonal ni en forma de L, y un rectángulo de 2×3 no vale. El rectángulo puede envolverse por los bordes del mapa.
El tamaño de cada grupo es una potencia de 2: 1, 2, 4, 8 o 16 celdas.
Los grupos pueden solaparse, y conviene que lo hagan. Un mismo 1 puede estar en varios grupos. La única condición es que cada grupo aporte al menos un 1 que no estuviera ya cubierto; si no aporta ninguno, ese grupo es redundante y sobra.
Los grupos deben ser lo más grandes posible. Un grupo de 4 siempre es mejor que dos de 2, porque elimina una variable más.
Y hay que usar los menos grupos posible. Es un criterio distinto del anterior: cada grupo es un término de la expresión final.
Hay que cubrir todos los unos del mapa, y ninguno puede quedarse fuera.
El mapa se enrolla: bordes y esquinas son adyacentes. Las cuatro esquinas de un mapa de cuatro variables forman un grupo válido.
Las condiciones indiferentes (X) pueden entrar en un grupo si te conviene, aunque no estés obligado a cubrirlas. Volvemos sobre ellas más abajo.
Y una técnica que ahorra errores: empieza por los unos que solo caben en un grupo. Esos grupos son obligatorios, se llaman implicantes primos esenciales, y partir de ellos evita el fallo más común, que es elegir una combinación de grupos válida pero no mínima. Lo aplicamos en el ejemplo de la siguiente sección.
El error clásico de quien empieza es hacer los grupos pequeños y disjuntos, como si fuera un puzle donde las piezas no se tocan. El resultado es una expresión correcta pero no mínima, que en un examen puntúa a medias.
Ejemplo resuelto de 4 variables, paso a paso
Vamos con una función de cuatro variables (A, B, C, D) definida por sus minitérminos:
F(A,B,C,D) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14)
Paso 1. Dibuja el mapa con el orden en código Gray. Las filas llevan AB y las columnas CD, ambas en el orden 00, 01, 11, 10.
AB \ CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
00 | 1 | 1 | 0 | 1 |
01 | 0 | 1 | 1 | 1 |
11 | 0 | 0 | 0 | 1 |
10 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Paso 2. Comprueba que has colocado bien los unos. Cada celda corresponde a un minitérmino: la de arriba a la izquierda es ABCD = 0000, es decir, m0. La de su derecha es 0001, m1. La siguiente 0011, m3. Ojo con esto, que es donde más se falla: el orden Gray hace que la primera fila no vaya m0, m1, m2, m3, sino m0, m1, m3, m2.
Paso 3. Busca los grupos de cuatro, que aquí son el máximo posible. No hay ningún grupo de ocho: un grupo de ocho en un mapa de cuatro variables tendría que corresponder a un único literal, y ninguno se cumple. Por ejemplo B̄ incluiría m3 y m11, que valen 0. Este es el error clásico: un grupo no es "ocho unos cualesquiera", es un rectángulo completo.
Los grupos de cuatro válidos son tres:
Grupo | Celdas | Término |
|---|---|---|
Columna CD = 10 completa | m2, m6, m14, m10 | C·D̄ |
Filas AB = 00 y 10, columnas CD = 00 y 01 | m0, m1, m8, m9 | B̄·C̄ |
Filas AB = 00 y 10, columnas CD = 00 y 10 | m0, m2, m8, m10 | B̄·D̄ |
Paso 4. Identifica los grupos obligatorios. Antes de elegir, mira qué unos solo caben en un grupo: esos grupos son obligatorios y son el punto de partida.
m14 solo aparece en el grupo de la columna CD = 10. Ese grupo entra sí o sí: C·D̄.
m9 solo aparece en el grupo de las columnas CD = 00 y 01. También entra: B̄·C̄.
Paso 5. Comprueba cómo se derivan esos dos términos. En la columna CD = 10, C vale 1 y D vale 0 en las cuatro celdas; A y B cambian, así que se cancelan. Queda C·D̄. En el segundo grupo, las filas AB = 00 y AB = 10 son adyacentes porque el mapa se enrolla: ahí B se mantiene a 0, y en las columnas CD = 00 y 01 C se mantiene a 0; A y D cambian. Queda B̄·C̄.
Paso 6. Mira qué unos quedan sin cubrir. Con esos dos grupos tienes cubiertos m0, m1, m2, m6, m8, m9, m10 y m14. Faltan m5 y m7.
El tercer grupo de cuatro, B̄·D̄, no sirve: sus celdas ya están todas cubiertas, así que sería redundante. Y no existe ningún grupo de cuatro que contenga m5 y m7, porque cualquier rectángulo que los incluya arrastra un cero.
El mayor grupo posible para esos dos es una pareja: las celdas (01, 01) y (01, 11). En ellas A = 0, B = 1 y D = 1 se mantienen, y solo cambia C. Queda Ā·B·D.
Paso 7. Escribe el resultado.
F = C·D̄ + B̄·C̄ + Ā·B·D
Comprueba la cobertura: {m2, m6, m10, m14} + {m0, m1, m8, m9} + {m5, m7} son exactamente los diez minitérminos del enunciado, ni uno más ni uno menos.
Hemos pasado de una función con diez minitérminos, que exigiría diez puertas AND de cuatro entradas más una OR, a tres términos. Esa es la reducción de circuito que buscaba Karnaugh.
Un aviso sobre el error más frecuente: la tentación de agrupar las celdas (00,01), (00,11), (01,01) y (01,11) como un bloque de cuatro que daría Ā·D. No es válido, porque la celda (00,11) corresponde a m3 y vale 0. Antes de dar por bueno un grupo, comprueba siempre que todas sus celdas valen 1.
Condiciones indiferentes, maxitérminos y las dos formas de leer el mapa
Dos cosas que el temario incluye y que casi ningún artículo en español explica juntas.
Las condiciones indiferentes (X)
A veces hay combinaciones de entrada que nunca se van a dar o cuyo resultado da igual. El caso típico es un decodificador BCD: con cuatro bits puedes representar dieciséis valores, pero solo usas del 0 al 9. Las combinaciones 1010 a 1111 no ocurren nunca.
Esas celdas se marcan con X y son un regalo: puedes contarlas como 1 si te conviene para agrandar un grupo, o ignorarlas si no te sirven. No estás obligado a cubrirlas. Bien usadas simplifican mucho la expresión final.
La regla práctica: no formes un grupo compuesto solo de X, porque no cubre ningún 1 real y no aporta nada.
Minitérminos y maxitérminos
Son las dos formas de expresar la misma función.
Minitérminos (Σm) | Maxitérminos (ΠM) | |
|---|---|---|
Qué agrupas | Los unos del mapa | Los ceros del mapa |
Forma resultante | Suma de productos (SOP) | Producto de sumas (POS) |
Cómo se lee cada variable | Si vale 1 va sin negar; si vale 0, negada | Al revés: si vale 0 va sin negar; si vale 1, negada |
Cómo se combinan los términos | Con OR entre grupos | Con AND entre grupos |
El mismo mapa sirve para las dos: agrupa unos y obtienes la suma de productos; agrupa ceros y obtienes el producto de sumas. Elige la que te dé menos términos, o la que pida el enunciado.
Cuándo el mapa deja de servir
Los mapas de Karnaugh funcionan bien hasta cuatro variables. Con cinco todavía se puede, usando dos mapas de 4×4 superpuestos y buscando adyacencias entre ellos, pero ya deja de ser cómodo. A partir de seis, el método es inmanejable: la cuadrícula tiene 64 celdas y detectar visualmente las adyacencias es poco fiable.
Para más variables se usan métodos algorítmicos:
Método | Cuándo se usa |
|---|---|
Quine-McCluskey | Sistemático y exacto. Se puede hacer a mano y es programable, aunque el coste crece rápido con el número de variables |
Espresso | Heurístico, es el que usan las herramientas de síntesis reales de circuitos |
Síntesis automática del sintetizador | En diseño con VHDL o Verilog, la optimización la hace la herramienta |
Esto último explica una pregunta razonable: si el sintetizador lo hace solo, ¿para qué aprenderlo? Por lo mismo que se aprende a derivar sabiendo que hay calculadoras: porque entender qué está optimizando la herramienta es lo que permite leer un resultado, detectar cuándo algo va mal y diseñar la lógica pensando en cómo se va a simplificar. Es la base de cualquier itinerario de programación que toque hardware o sistemas, y el punto de partida antes de elegir con qué lenguaje trabajar después.
Preguntas frecuentes sobre los mapas de Karnaugh
¿Los grupos de un mapa de Karnaugh pueden solaparse?
Sí, y conviene que lo hagan. Un mismo 1 puede pertenecer a varios grupos, y aprovechar el solapamiento es lo que permite formar grupos más grandes y llegar a la expresión mínima. La única condición es que cada grupo aporte al menos un 1 que no estuviera cubierto por otro; si no aporta ninguno, ese grupo es redundante.
¿Por qué el orden es 00, 01, 11, 10?
Porque es código Gray: entre dos valores consecutivos solo cambia un bit. Eso hace que dos celdas contiguas se diferencien en una sola variable, y al agruparlas esa variable se cancela. Si usaras binario natural (00, 01, 10, 11), del segundo al tercer valor cambiarían dos bits a la vez y la simplificación no funcionaría.
¿Cuántas variables admite un mapa de Karnaugh?
Funciona bien hasta cuatro. Con cinco todavía es viable usando dos mapas superpuestos, pero resulta incómodo. A partir de seis el método deja de ser fiable, porque detectar adyacencias en una cuadrícula de 64 celdas a simple vista es propenso a errores. Para más variables se usa Quine-McCluskey o algoritmos como Espresso.
¿Qué significa la X en un mapa de Karnaugh?
Marca una condición indiferente: una combinación de entradas que nunca se va a producir o cuyo resultado da igual. El caso típico son los valores del 10 al 15 en un decodificador de dígitos decimales. Puedes tratar cada X como un 1 si te ayuda a agrandar un grupo, o ignorarla si no te sirve. No estás obligado a cubrirlas.
¿Cuál es la diferencia entre minitérminos y maxitérminos?
Los minitérminos se obtienen agrupando los unos del mapa y dan una suma de productos. Los maxitérminos se obtienen agrupando los ceros y dan un producto de sumas. Son dos formas equivalentes de expresar la misma función; se elige la que produzca menos términos o la que pida el enunciado.
¿Se usan los mapas de Karnaugh en marketing o en gestión?
No. Es una herramienta de electrónica digital para simplificar funciones booleanas y reducir el número de puertas de un circuito. Circulan artículos que proponen adaptarla al análisis de datos de marketing, pero lo que describen es una tabla cruzada de variables corriente, no un mapa de Karnaugh: sin lógica binaria, sin código Gray y sin agrupación por adyacencia, no queda nada del método.
